2 A! C e. a9 [7 o8 m Y6 }公仔箱論壇現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如： 9 q, E& s9 c% w1 t h* T. s5.39.217.76 # s4 B8 M& B ^7 K8 e0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0}, " u2 |4 [, B! d' U0 V2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1} % i+ Z ] q. V; }5 y# Q* w# G1 l" h
[Λ為空集] 4 @, I/ A: T1 z3 j9 n$ V" v) Xtvb now,tvbnow,bttvbTVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。7 b' Q( J4 r' X# a x" a
一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。 8 C; u/ {1 J" atvb now,tvbnow,bttvb/ B7 U, B3 P0 B3 p' o) C3 t; P5 ?
在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。 : k# z8 S- i0 U& |& g5.39.217.76 3 V( |# q( i2 h- l9 V5.39.217.76〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕 TVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。7 U: }* Z; J" T; S( L& @
tvb now,tvbnow,bttvb D" h6 n! `' Z' N: k
跟覑我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。 TVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。/ C5 u: v* Y5 X# p) H. l. e N
1 d) K, Y" r. Z( s8 Z5 F
定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件： 公仔箱論壇4 m" e) g. J$ N8 d' c5 j! g D
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ； % W8 C3 n Y! }, x) I/ l
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。 ! L, G2 M9 T/ {: b( W5 sTVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。tvb now,tvbnow,bttvb) ^5 q" j: x' ?4 B" l! V0 _6 z
映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下： ! L+ k1 R( Y2 Y6 [7 f
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。 # ^0 r0 c/ D6 v$ ~! | X
% k: z4 P1 ?6 d4 V
現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下： & N$ _- y V% V/ B$ }& Z/ [公仔箱論壇1+1 TVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。9 A7 E& U4 a' J3 ~' ]2 T* f
= 1+0* (因為 1:= 0*) 1 X$ c# _- u% O, j
= (1+0)* (根據條件(2)) 3 ~* b6 q z0 a) w K: }
= 1* (根據條件(1)) TVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。+ X$ y: N( C! Z0 l
= 2 (因為 2:= 1*) tvb now,tvbnow,bttvb% |) d9 j1 l( I9 o& e. j( I
6 C R8 j4 K- R7 d( l* X* y |〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。] 公仔箱論壇0 G6 Q0 O. Z$ t5 I
5.39.217.768 M9 d5 F% `+ s) @
1+ 1=2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"PrincipiaMathematica" ;中的那個。 1 o0 [; {! a' A% B公仔箱論壇我們可以這樣証明"1+1 = 2"： 公仔箱論壇, e# w9 g( { B6 {, C, Q
首先，可以推知： " K; X! A: j( ~4 d6 O+ qαε１<=> (Σx)(α={x}) tvb now,tvbnow,bttvb! M0 r" ?2 {% U
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y)) 公仔箱論壇$ @* s" a* H2 `# b7 l8 A B
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y)) TVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。3 b; @" h2 \$ r1 v0 o
所以對於任意的集合γ，我們有 ! r5 @0 @) @# P6 Y γε1+1 % Y4 S9 |7 @5 T& P$ j/ w
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y)) 5.39.217.76- p3 ?. J2 h! r0 P; n
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y)) 7 ?6 \+ f. C: w7 ?- x9 z
<=> γε2 tvb now,tvbnow,bttvb, s7 _2 z8 V" M8 G% \& ^
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]作者: ~天穎~ 時間: 2007-11-16 12:59 AM
謝謝分享!作者: nd126 時間: 2007-11-16 02:20 AM
Wow!!Even tho. i don't get it at all but still need to thank you for explain to us作者: smsl 時間: 2007-11-16 12:49 PM
wa , add math , logic all come out :019: i* i0 ~+ J; H9 A' @" u" eTVBNOW 含有熱門話題，最新最快電視，軟體，遊戲，電影，動漫及日常生活及興趣交流等資訊。thank nice info !!!作者: VuiLoong 時間: 2007-11-17 05:18 PM
thx for sharing作者: meowmeow520 時間: 2007-11-18 08:10 PM
thanks for sharing....作者: yaya1818 時間: 2007-11-29 03:49 PM
but still need to thank you for explain to us
